Mathmatics13 조화수(Harmonic Number)는 자연수가 될 수 없음을 증명하기 조화수란 무엇인가? 조화수가 대체 무엇일까요? 임의의 양의 정수 n에 대하여 n번째 Harmonic Number Hn은 다음과 같이 정의됩니다. Hn = 1+1/2+1/3+...+1/n으로 정의되는 수를 n번째 조화수 라고 합니다. 오늘은 임의의 자연수 n에 대하여 Hn은 절대 자연수가 될 수 없음을 증명하도록 하겠습니다. 조화수는 자연수가 될 수 없음 일단 자연수 M을 다음과 같이 정의해 봅시다. M = lcm(1,2,3,4,...,n) (M은 1부터 n까지의 모든 정수에 대한 최소공배수) 그러면 1부터 n까지의 모든 정수 k에 대하여 k * ak = M을 만족시키는 정수 ak가 반드시 존재합니다. 그러면 Hn을 다음과 같은 식으로 바꿀 수가 있습니다. 여기서 M은 반드시 짝수입니다. 왜 그럴까요? 아.. 2022. 4. 19. [Euclid's theorem] 소수의 무한성 이해하기 쉽게 증명하기 소수는 무수히 많다 Euclid's theorem 유클리드의 정리 소수(1과 자기 자신으로밖에 나누어 떨어지지 않는 수)는 무한히 존재한다는 정리입니다. 소수를 한번 나열해 볼까요? 2,3,5,7,11,13,17,19,23...... 소수는 끝없이 나열할 수 있으며, 그 개수는 무한입니다. 소수가 무한 개라는 것을 과연 어떻게 증명할 수 있을까요? 후술할 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)와 수학적 귀류법(Proof of contradiction)을 이용하여 직관적이고 쉬운 방법으로 증명할 수 있습니다. 듣자마자 패닉이 옵니다. 하지만 내용을 들여다보면 별볼일 없으므로 저의 논리를 그대로 따라오시기만 하면 자동으로 증명이 됩니다. 산술의 기본정리(Fundamen.. 2022. 4. 18. 한국수학올림피아드[KMO] 2018 중등부 12번 풀이 1번과 2번 식이 주어져 있고, 이 식들을 이용하여 a + b를 구하는 문제이다. 최대공약수와 최소공배수를 식으로 나타내고 정리해서 몇가지 Case로 나눠 추론하면 풀리는 문제이다. 두 양의 정수 a와 b를 다음과 같이 나타내보자 두 양의 정수 a와 b의 최대공약수를 d라고 정의하면, a = d * s b = d * t (s와 t는 Relatively Prime) 위와 같은 식을 세울 수가 있다. 위 값을 2번 식에 대입해 보자 ab + lcm(a,b) = 432이므로 ds * dt + dst = dst(d + 1) = d(d+1)st = 432이다 432를 소인수분해하면 d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3 으로 나타낼 수 있다. 우리가 정리한 식을 다시 한번 자세히 보자 d(d+1)st = 2.. 2022. 4. 15. 1차 Diophantine equation 해 존재 조건과 증명 디오판토스 방정식이란 부정방정식에서 정수해만을 고려한 방정식을 말한다 ax + by = c라는 indeterminate equation이 주어져 있을 때 정수해 (x , y)쌍이 존재할 필요충분조건은 다음과 같다. d | c 증명 다음 두 가지를 증명하면 된다 1 ) ax + by = c 의 정수해 x1와 y1가 존재하면 d | c이다. 2 ) d | c 이면 ax + by = c 의 정수쌍 x와 y가 존재한다. 1) 증명 Z는 정수의 집합이다 d를 gcd(a,b)로 정의하고 aZ + bZ 집합을 {ax + by | x,y는 Z의 원소} 이라고 정의하면 aZ + bZ = dZ를 만족한다. 그러면 당연히 ax + by = c에 대하여 c 는 dZ의 원소이므로 d|c를 만족한다. 2) 증명 d | c에서 다.. 2022. 4. 14. 이전 1 2 3 4 다음
