한국수학올림피아드[KMO] 2018 중등부 12번 풀이

1번과 2번 식이 주어져 있고, 이 식들을 이용하여 a + b를 구하는 문제이다.

최대공약수와 최소공배수를 식으로 나타내고 정리해서 몇가지 Case로 나눠 추론하면 풀리는 문제이다.

 

두 양의 정수 a와 b를 다음과 같이 나타내보자

두 양의 정수 a와 b의 최대공약수를 d라고 정의하면,

a = d * s

b = d * t 

(s와 t는 Relatively Prime)

 

위와 같은 식을 세울 수가 있다.

 

위 값을 2번 식에 대입해 보자

ab + lcm(a,b) = 432이므로

ds * dt + dst = dst(d + 1) = d(d+1)st = 432이다

432를 소인수분해하면

 

d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3 으로 나타낼 수 있다.

 

우리가 정리한 식을 다시 한번 자세히 보자

d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3

자세히 보니 연속된 두 양의 정수 d와 d1이 곱해져 있는 형태이다.

 

이에 따라 다음과 같은 총 4개의 경우들로 분류하여 논리를 전개해나갈 수 있다.

 

Case1. d=1인경우

d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3 이므로

st = 2*2*2*3*3*3이다.

여기서 s와 t는 서로소이므로

    Case 1-1 : s = 8이고 t = 27인 경우 > X (1번 식을 만족하지 못함)

    Case 1-2 : s = 27이고 t = 8인 경우 > X (1번 식을 만족하지 못함)

 

 

Case2. d=2인경우

d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3 이므로

st = 2*2*2*3*3이다.

여기서 s와 t는 서로소이므로

    Case 2-1 : s = 8이고 t = 9인 경우 > O (1번 식을 만족)

    Case 2-2 : s = 9이고 t = 8인 경우 > O (1번 식을 만족)

 

따라서 다음 두 가지 경우만이 정답이 될 수 있다.

Case 2-1 : a = 2 * 8 = 16 b = 2 * 9 = 18이거나

Case 2-2 : a = 2 * 9 = 18 b= 2 * 8 = 16이다.

두 경우 모두 a + b = 34이다. 따라서 정답은 34

 

Case3. d=3인 경우

d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3 이므로

st = 2*2*3*3이다.

여기서 s와 t는 서로소이므로

    Case 3-1 : s = 4이고 t = 9인 경우 > X (1번 식을 만족하지 못함)

    Case 3-2 : s = 9이고 t = 4인 경우 > X (1번 식을 만족하지 못함)

 

 

Case4. d=8인 경우

d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3 이므로

st = 2*3이다.

여기서 s와 t는 서로소이므로

    Case 4-1 : s = 2이고 t = 3인 경우 > X (1번 식을 만족하지 못함)

    Case 4-2 : s = 3이고 t = 2인 경우 > X (1번 식을 만족하지 못함)

 

Case 2-1, Case2-2인 경우에만 1,2번식을 모두 만족하므로

정답은 34이다.