GCD2 한국수학올림피아드[KMO] 2018 중등부 12번 풀이 1번과 2번 식이 주어져 있고, 이 식들을 이용하여 a + b를 구하는 문제이다. 최대공약수와 최소공배수를 식으로 나타내고 정리해서 몇가지 Case로 나눠 추론하면 풀리는 문제이다. 두 양의 정수 a와 b를 다음과 같이 나타내보자 두 양의 정수 a와 b의 최대공약수를 d라고 정의하면, a = d * s b = d * t (s와 t는 Relatively Prime) 위와 같은 식을 세울 수가 있다. 위 값을 2번 식에 대입해 보자 ab + lcm(a,b) = 432이므로 ds * dt + dst = dst(d + 1) = d(d+1)st = 432이다 432를 소인수분해하면 d(d+1)st = 2*2*2*2*3*3*3 으로 나타낼 수 있다. 우리가 정리한 식을 다시 한번 자세히 보자 d(d+1)st = 2.. 2022. 4. 15. 정수 m,n,k에 대하여 gcd(m,n) = gcd(m+kn) 증명 정수 m,n과 임의의 정수 k에 대하여 gcd(m,n) = gcd(m+kn,n)이다 최대공약수와 관련된 정리는 여태까지 방정식을 세워 대수적으로 증명하였었다. 하지만 이 풀이는 집합이론을 이용하여 증명한다. A집합은 B집합과 같은 원소를 가지는가를 증명할 때는 다음 두 가지만 증명하면 된다 1. A는 B의 부분집합이다 2. B또한 A의 부분집합이다 위 사실을 이용하여 증명해보도록 하자. 정수 m과 n의 공약수의 집합을 S, 정수 m +kn과 n의 공약수의 집합을 T라고 해보자. 1. S는 T의 부분집합임을 증명 S의 임의의 원소 x에 대하여 x | m,x | n이다. 따라서 위와 같은 성질을 가진 x에 대하여 다음 사실도 성립한다. S의 임의의 원소 x에 대하여 x | m+nk, x | n (k는 정수이.. 2022. 4. 12. 이전 1 다음
