정사각행렬 A의 역행렬의 유일성 증명 완벽 이해

오늘은 정사각행렬의 역행렬에(Inverse Matrix)에 대하여 공부해 보도록 하겠습니다.

만약 정사각행렬 A의 역행렬이 존재한다면

그 역행렬은 반드시 하나만 존재한다.

 

역행렬의 정의

정사각행렬 A에 대하여

AB = BA = E(단위행렬)을 만족 시키는 행렬 B를

A의 역행렬 이라고 정의합니다.

 

 

어떤 행렬의 역행렬이 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있습니다.

역행렬이 만약 존재한다면

그 역행렬은 반드시 하나만 존재합니다.

 

역행렬의 유일성 증명하기

 

수학적 귀류법(Proof by Contradiction)을 통하여 증명해 보도록 하겠습니다.

n차 정사각행렬 A의 역행렬이 하나 이상 존재한다고 가정하여

그 역행렬을 각각 B와 C라고 하겠습니다.

 

그러면

AB = BA = E  ... 1

AC = CA = E  ... 2

위 두 식이 성립합니다.

 

 

1식의 우변에 행렬 C를 곱해볼까요?

그러면 ABC = BAC가 됩니다.

여기서 AB = E 이고 AC = E이므로 

ABC = BAC를 정리하면

C = B가 됩니다.

 

 

이것은 우리의 가정 즉, 서로 다른 역행렬이 존재한다는 가정에 모순되므로

서로 다른 역행렬은 존재하지 않으며, 유일하다는 결론이 도출되었습니다.

 

 

이상 N차 정사각행렬의 역행렬의 유일성에 대하여 증명하였습니다.

감사합니다.