한국수학올림피아드[KMO] 2019 중등부 2번 풀이(정수론)

한국수학올림피아드[KMO] 2019 중등부 2번 풀이

 

단계 1

여기서, 여섯자리 정수인 m에 4를 곱하면 또 다시 여섯 자리 정수인 n이 나온다

이 조건으로 미루어 보았을 때,

a에 들어갈 수 있는 수는 1과 2이다.

a에 그 이상의 수가 들어간다면 m에 4를 곱하였을 때 나오는 결과는 일곱 자리 수가 될 것이기 때문이다.

 

하지만

문제를 잘 읽어보면,

문제에서 요구하는 것은

m이 될 수 있는 수 중 가장 큰 값이다.

그렇기 때문에 a가 1인 경우는 논할 필요가 없다

a=2라고 가정한 후 논리를 전개해 나가자.

 

단계 2

a가 2이면, f에 들어갈 수 있는 수는 8과 9 뿐이다.

맨 앞자리 수가 2인 여섯 자리 정수에 4를 곱했을 때 그 결과가 여섯자리 정수이면

당연히 그 결과의 맨 앞자리는 8 또는 9이기 때문이다

 

하지만 마찬가지로, 우리에게 필요한 것은 m이 될 수 있는 수 중 가장 큰 수이다

따라서 f=9라고 가정한 후 논리를 전개해 나가자.

 

단계 3

 

a값과 f값이 정해졌으면

다음과 같이 계산식을 통하여 모든 자리수인 b,c,d,e값도 추론할 수 있다.

 

다음과 같은 과정을 반복하여 각 자리수를 알아낸다.

따라서 e=6,d=7,c=0,b=3 값이 차례대로 구해진다

따라서 여섯자리 정수 m이 될 수 있는 수 중 가장 큰 수는 230769이며

이를 1000으로 나눈 나머지는 769이다